O número N=2^15+2^15+2^15+cdots+2^15 é formado por 15 parcelas, todas iguais. Determine a quantidade de divisores positivos de N.

Passo 1

O enunciado nos dá
N = underbrace2^15 + 2^15 + cdots + 2^1515 parcelas
e pede a quantidade de divisores positivos de N. O conteúdo aqui é fatoração em primos e uso da fórmula do número de divisores. Para resolver, vamos (i) expressar N em forma factorizada e (ii) aplicar a fórmula tau(N) = prod (ei+1), onde ei são os expoentes na fatoração.

Passo 2

Como somamos 2^15 exatamente 15 vezes, temos
N = 15 times 2^15

Passo 3

Fatoramos 15 em primos:
15 = 3 times 5,
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N = 2^15 times 3^1 times 5^1

Passo 4

Para um número
N = p1^e1 p2^e2 cdots pk^ek,
o número de divisores positivos é
tau(N) = (e1+1)(e2+1)cdots(ek+1)
Aqui temos e1=15, e2=1, e3=1. Portanto
tau(N) = (15+1),(1+1),(1+1) = 16 times 2 times 2 = 64

Resposta

64

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