Sendo N7 A uma divisão que gera quociente exato, e N o produto dos 60 primeiros números naturais, a partir de 1, qual é o maior valor que pode assumir o expoente A ?

Passo 1

O enunciado diz que N é o produto dos 60 primeiros naturais (ou seja, N=60!) e pede o maior inteiro A tal que N/7^A seja inteiro. O conteúdo aqui é o cálculo do expoente de um primo ( 7) em um fatorial, usando a fórmula de Legendre.

Passo 2

Para determinar até que potência 7^A divide 60! sem deixar resto, precisamos encontrar o valor de
v7(60!) = expoente de 7 em 60!
que é exatamente o maior A desejado.

Passo 3

Pela fórmula de Legendre, o expoente de um primo p em n! é
vp(n!) = sumk=1^infty lfloor np^k rfloor
Aqui temos p=7 e n=60, logo
v7(60!) = sumk=1^infty lfloor 607^k rfloor

Passo 4

Calculamos os termos até que 7^k>60:
lfloor tfrac607rfloor = 8, lfloor tfrac607^2rfloor = lfloor tfrac6049rfloor = 1, lfloor tfrac607^3rfloor = lfloor tfrac60343rfloor = 0
Somando, obtemos
v7(60!) = 8 + 1 + 0 = 9

Resposta

O maior valor que pode assumir o expoente A é 9.

Exercícios de Livros Relacionados