Sendo
uma divisão que gera quociente exato, e N o produto dos 60 primeiros números naturais, a partir de 1, qual é o maior valor que pode assumir o expoente
?
Passo 1
O enunciado diz que
é o produto dos
primeiros naturais (ou seja,
) e pede o maior inteiro
tal que
seja inteiro. O conteúdo aqui é o cálculo do expoente de um primo (
) em um fatorial, usando a fórmula de Legendre.
Passo 2
Para determinar até que potência
divide
sem deixar resto, precisamos encontrar o valor de
que é exatamente o maior
desejado.
Passo 3
Pela fórmula de Legendre, o expoente de um primo
em
é
Aqui temos
e
, logo
Passo 4
Calculamos os termos até que
:
Somando, obtemos
Resposta
O maior valor que pode assumir o expoente
é
.