Determine m de modo que a equação do 2 . grau m x^2-(2 m-1) x+(m-2)=0 admita raízes positivas.

Passo 1

O enunciado dá a equação de 2.º grau
m x^2 - (2m-1),x + (m-2) = 0
e pede os valores de m para os quais as duas raízes são positivas.
Vamos usar as condições de Viète para raízes reais positivas de a x^2 + b x + c = 0:
1. Discriminante positivo: De<a>0.
2. Soma das raízes S = -tfracba > 0.
3. Produto das raízes P = tfracca > 0.
Além disso a=mneq0.

Passo 2

Calculamos o discriminante
De<a = b^2 - 4ac = (-(2m-1))^2 - 4,(m),(m-2) = (2m-1)^2 - 4m^2 +8m =4m^2 -4m +1 -4m^2 +8m =4m+1
Para ter duas raízes reais distintas, exigimos
De<a>0 Longrightarrow 4m+1>0 Longrightarrow m>-tfrac14

Passo 3

A soma das raízes é
S = -ba = --(2m-1)m = 2m-1m
Queremos S>0, ou seja
2m-1m>0
Isso ocorre se numerador e denominador têm o mesmo sinal:
  • Caso 1: 2m-1>0 e m>0; Rightarrow m>tfrac12.
  • Caso 2: 2m-1<0 e m<0; Rightarrow m<tfrac12 e m<0; Rightarrow m<0.
    Logo
2m-1m>0 Long<=ftrightarrow m<0ou m>tfrac12

Passo 4

O produto das raízes é
P = ca = m-2m
Queremos P>0, ou seja
m-2m>0
Isto exige numerador e denominador com o mesmo sinal:
  • Caso 1: m-2>0 e m>0; Rightarrow m>2.
  • Caso 2: m-2<0 e m<0; Rightarrow m<2 e m<0; Rightarrow m<0.
    Logo
m-2m>0 Long<=ftrightarrow m<0ou m>2

Passo 5

Agora intersectamos as três condições (e mneq0):
1. m>-tfrac14,
2. m<0 ou m>tfrac12,
3. m<0 ou m>2.
No ramo m<0 devemos ainda ter m>-tfrac14, o que dá
-tfrac14 < m < 0
No ramo positivo temos simultaneamente m>tfrac12 e m>2, o que dá
m>2
Portanto a solução é
minl(-tfrac14,0r);cup;(2,infty)

Resposta

minl(-tfrac14,0r)cup(2,infty)

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