O enunciado dá um sistema homogêneo de três equações e três incógnitas com parâmetro a:
x + y + a,z = 0, x - 2y + z = 0, 2x - y + a,z = 0
O conteúdo é sistemas lineares homogêneos e o critério de existência de solução não trivial usando o determinante da matriz de coeficientes.
Passo 2
Para que um sistema homogêneo tenha solução não trivial (ou seja, além da solução x=y=z=0), é necessário e suficiente que o determinante da matriz dos coeficientes seja zero.
A matriz dos coeficientes é
A = 1 & 1 & a 1 & -2 & 1 2 & -1 & a
Calculamos
det(A) = 1det!-2 & 1-1 & a -1det!1 & 12 & a +adet!1 & -22 & -1
Como det(A)=3neq0 para todo valor de a, o sistema é sempre de posto máximo e, por ser homogêneo, admite apenas a solução trivial.
Resposta
Não existe valor de a que torne o sistema singular; para todo ainR, a única solução é x=y=z=0.
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 418