Determine a de modo que o sistema
r x+y+a z=0 x-2 y+z=0 2 x-y+a z=0

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo de três equações e três incógnitas com parâmetro a:
x + y + a,z = 0, x - 2y + z = 0, 2x - y + a,z = 0
O conteúdo é sistemas lineares homogêneos e o critério de existência de solução não trivial usando o determinante da matriz de coeficientes.

Passo 2

Para que um sistema homogêneo tenha solução não trivial (ou seja, além da solução x=y=z=0), é necessário e suficiente que o determinante da matriz dos coeficientes seja zero.
A matriz dos coeficientes é
A = 1 & 1 & a 1 & -2 & 1 2 & -1 & a
Calculamos
det(A) = 1det!-2 & 1-1 & a -1det!1 & 12 & a +adet!1 & -22 & -1

Passo 3

Cada menor fica:
det-2 & 1-1 & a =(-2),a - (1)(-1)= -2a+1,
det1 & 12 & a =1cdot a - 1cdot2= a-2,
det1 & -22 & -1 =1cdot(-1) - (-2)cdot2= -1+4=3
Logo,
det(A)=(-2a+1);-;(a-2);+;acdot3 =-2a+1 -a+2 +3a =3

Passo 4

Como det(A)=3neq0 para todo valor de a, o sistema é sempre de posto máximo e, por ser homogêneo, admite apenas a solução trivial.

Resposta

Não existe valor de a que torne o sistema singular; para todo ainR, a única solução é x=y=z=0.

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