Discuta o sistema linear nas incógnitas x e y :
m x+y & =1-m x+m y & =0

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear em
O conteúdo aqui é discussão de sistemas lineares (2\times2]: vamos calcular o determinante, ver quando ele se anula e classificar os casos (única solução, infinitas soluções ou nenhum).

Passo 2

Escrevendo a matriz dos coeficientes e calculando seu determinante De<a:
De<a = m & 1 1 & m = mcdot m - 1cdot 1 = m^2 - 1
Logo De<a = m^2 - 1.

Passo 3

Caso De<a neq 0, ou seja, m^2-1neq 0 ( mneq pm 1), o sistema tem única solução dada pela regra de Cramer. Calculamos
De<ax = 1 - m & 1 0 & m = (1 - m),m - 0cdot 1 = m(1 - m),
De<ay = m & 1 - m 1 & 0 = mcdot 0 - 1cdot(1 - m) = m - 1
Portanto,
x = De<axDe<a = m(1 - m)m^2-1 e y = De<ayDe<a = m - 1m^2-1
Podemos simplificar usando m^2-1=(m-1)(m+1), mas já temos a expressão geral.

Passo 4

Caso
As duas equações coincidem em , temos e .

Passo 5

Caso
Da segunda vem leva a , contradição. Logo o sistema é incompatível (sem solução).

Resposta

Para m neq pm 1: o sistema tem única solução
x = m(1 - m)m^2-1, y = m - 1m^2-1
Para m = 1: infinitas soluções, dado que x + y = 0.
Para m = -1: sistema incompatível (nenhuma solução).

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