Determine a natureza das curvas representadas pelas seguintes equações:
9 x^2+16 y^2=25

Passo 1

O enunciado pede para classificar a curva de segunda ordem dada por 9x^2+16y^2=25. O conteúdo aqui é a classificação de cônicas usando o discriminante B^2-4AC da forma geral
Ax^2+Bxy+Cy^2+dots=0,
e, em seguida, reconhecer as formas canônicas de elipse, hipérbole ou parábola.

Passo 2

Identificamos os coeficientes na forma geral:
A=9, B=0, C=16
Calculamos o discriminante:
De<a = B^2-4AC = 0^2-4cdot 9cdot 16 = -576
Como De<a<0 e A e C têm o mesmo sinal, a curva é uma elipse (se A=C, seria circunferência; aqui 9neq16, logo elipse).

Passo 3

Para ver os semieixos, dividimos ambos os lados por 25:
9x^225 + 16y^225 = 1 Longrightarrow x^2tfrac259 + y^2tfrac2516 = 1

Passo 4

Na forma
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
temos
a = raiz259 = 53, b = raiz2516 = 54
Ambos reais e positivos, confirmando que é uma elipse centrada na origem e alinhada aos eixos.

Resposta

A curva é uma elipse com centro na origem, de equação
x^2l(tfrac53r)^2 + y^2l(tfrac54r)^2 = 1,
cujo semieixo ao longo de x mede tfrac53 e ao longo de y mede tfrac54.

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