Determine as constantes A, B e C tais que:
1(x+2)(2 x+1)=Ax+2+B2 x+1.

Passo 1

O enunciado pede para decompor em frações parciais a função
1(x+2)(2x+1)
do tipo
1(x+2)(2x+1) = Ax+2 + B2x+1
O conteúdo aqui é decomposição em frações parciais de uma função racional cujos fatores do denominador são lineares distintos.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por (x+2)(2x+1) para eliminar denominadores, obtendo a identidade
1 = A,(2x+1) + B,(x+2)

Passo 3

Expandindo o lado direito temos
A,(2x+1) + B,(x+2) = (2A + B),x + (A + 2B)
Logo, a igualdade
1 = (2A + B),x + (A + 2B)
deve valer para todo x.

Passo 4

Como o lado esquerdo é o polinômio constante
Resolvendo o sistema, de . Substituindo em :
Então

Resposta

A = -tfrac13, B = tfrac23. Portanto,
1(x+2)(2x+1) = -1/3x+2 + 2/32x+1

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