Determine as constantes a e b de modo que o polinômio P(x) seja divisível por Q(x), onde:
P(x)=6 x^4-7 x^3+a x^2+3 x+2, Q(x)=x^2-x+b.

Passo 1

O enunciado pede para achar constantes a e b tais que o polinômio
P(x)=6x^4-7x^3+a x^2+3x+2
seja divisível por
Q(x)=x^2-x+b
Isso significa que o resto da divisão de P(x) por Q(x) deve ser o polinômio nulo.

Passo 2

Como Q(x)=0 implica x^2=x-b, podemos reduzir quaisquer potências de x maiores que 1 mod Q. Em particular:
x^2=x - b,
x^3=xcdot x^2=x(x - b)=x^2-b,x=(x - b)-b,x=x(1 - b)-b,
x^4=xcdot x^3=xl(x(1 - b)-br)=x^2(1 - b)-b,x=(x - b)(1 - b)-b,x=x(1-2b)-b+b^2

Passo 3

Substituindo essas expressões em P(x) e juntando termos em x e constantes, obtemos o resto
R(x)=6l(x(1-2b)-b+b^2r)-7l(x(1-b)-br)+a(x-b)+3x+2
Reagrupando, o coeficiente de x fica
6(1-2b)-7(1-b)+a+3 = a -5b +2,
e o termo constante fica
-6b+6b^2+7b -a b +2 =6b^2+b(1-a)+2

Passo 4

Para que
Da primeira equação vem (a=5b-2]. Substituindo na segunda:

Passo 5

Resolvendo b^2+3b+2=0 obtemos b=-1 ou b=-2. Para cada caso,
a=5b-2;Longrightarrow; b=-1implies a=5(-1)-2=-7, b=-2implies a=5(-2)-2=-12

Resposta

(a,b)=(-7,-1) ou (a,b)=(-12,-2).

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