Determine o número de algarismos do período da representação decimal das frações ordinárias irredutíveis cujos denominadores são:
17
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Passo 1
O enunciado pede o número de algarismos do período da representação decimal de uma fração irreduzível com denominador
. Isso equivale a encontrar a menor ordem multiplicativa de
módulo
, pois o comprimento do período decimal de
(com
) é o menor
tal que
.
Passo 2
Em geral, se uma fração irreduzível tem denomidador
primo e não divide
, o período decimal de
tem comprimento igual à ordem de
no grupo multiplicativo
. Ou seja, o menor inteiro
com
Passo 3
Vamos calcular as potências de
em módulo
até obter
pela primeira vez:
Nenhum expoente menor que
produz
, e em
finalmente
.
Passo 4
Concluímos, portanto, que a ordem de
módulo
é
, e então qualquer fração irreduzível de denominador
tem período decimal de
algarismos.
Resposta
O período decimal tem 16 algarismos.