Determine o número de algarismos do período da representação decimal das frações ordinárias irredutíveis cujos denominadores são:
17

Passo 1

O enunciado pede o número de algarismos do período da representação decimal de uma fração irreduzível com denominador 17. Isso equivale a encontrar a menor ordem multiplicativa de 10 módulo 17, pois o comprimento do período decimal de tfraca17 (com gcd(a,17)=1) é o menor k tal que 10^kequiv1pmod17.

Passo 2

Em geral, se uma fração irreduzível tem denomidador p primo e não divide 10, o período decimal de tfracap tem comprimento igual à ordem de 10 no grupo multiplicativo (Z/pZ)^*. Ou seja, o menor inteiro k>0 com
10^k equiv 1 pmodp

Passo 3

Vamos calcular as potências de 10 em módulo 17 até obter 1 pela primeira vez:
10^1equiv10, 10^2equiv15, 10^3equiv14, 10^4equiv4, 10^5equiv6, 10^6equiv9, 10^7equiv5, 10^8equiv16, 10^9equiv7, 10^10equiv2,
10^11equiv3, 10^12equiv13, 10^13equiv11, 10^14equiv8, 10^15equiv12, 10^16equiv1 pmod17
Nenhum expoente menor que 16 produz 1, e em k=16 finalmente 10^16equiv1.

Passo 4

Concluímos, portanto, que a ordem de 10 módulo 17 é 16, e então qualquer fração irreduzível de denominador 17 tem período decimal de 16 algarismos.

Resposta

O período decimal tem 16 algarismos.

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