Prove que a altura e o lado de um triângulo equilátero sāo segmentos de reta incomensuráveis.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num triângulo equilátero de lado
, a altura
e o próprio lado não têm medida comum — isto é, não existe segmento unitário
tal que
e
sejam múltiplos inteiros de
.
Conteúdo: definição de segmentos comensuráveis (razão racional entre comprimentos), Teorema de Pitágoras e argumento de descida infinita (infinite descent).
Conteúdo: definição de segmentos comensuráveis (razão racional entre comprimentos), Teorema de Pitágoras e argumento de descida infinita (infinite descent).
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
e
sejam comensuráveis. Então existe um segmento
e inteiros positivos
tais que
Passo 3
No triângulo equilátero, a altura
forma um triângulo retângulo cujos catetos são
e
e cuja hipotenusa é
. Pelo Teorema de Pitágoras,
Substituindo
e
obtemos
Passo 4
Da igualdade
segue que
divide
, logo
divide
e, portanto, divide
. Escrevendo
, temos
Desse modo
é múltiplo de
, o que implica
divide
. Escrevendo
, obtemos
Reproduzimos a mesma forma da equação original, agora com o par
de inteiros estritamente menores que
.
Passo 5
O argumento acima gera um novo par
de inteiros positivos menores que
satisfazendo exatamente a mesma relação de comensurabilidade. Repetindo, obteríamos
, depois
etc., produzindo uma sequência decrescente infinita de inteiros positivos — o que é impossível. Portanto, a hipótese de que
e
fossem comensuráveis leva a contradição.
Resposta
A altura e o lado de um triângulo equilátero são segmentos incomensuráveis.