Prove que a altura e o lado de um triângulo equilátero sāo segmentos de reta incomensuráveis.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num triângulo equilátero de lado s, a altura h e o próprio lado não têm medida comum — isto é, não existe segmento unitário m tal que s e h sejam múltiplos inteiros de m.
Conteúdo: definição de segmentos comensuráveis (razão racional entre comprimentos), Teorema de Pitágoras e argumento de descida infinita (infinite descent).

Passo 2

Suponha, por absurdo, que s e h sejam comensuráveis. Então existe um segmento m e inteiros positivos k,l tais que
s = k,m, h = l,m

Passo 3

No triângulo equilátero, a altura h forma um triângulo retângulo cujos catetos são h e s/2 e cuja hipotenusa é s. Pelo Teorema de Pitágoras,
l(tfracs2r)^2 + h^2 = s^2
Substituindo s=k,m e h=l,m obtemos
l(tfrack,m2r)^2 + (l,m)^2 = (k,m)^2 Longrightarrow k^2m^24 + l^2m^2 = k^2m^2 Longrightarrow 4,l^2 = 3,k^2

Passo 4

Da igualdade 4,l^2=3,k^2 segue que 3 divide 4,l^2, logo 3 divide l^2 e, portanto, divide l. Escrevendo l=3,l1, temos
4,(3,l1)^2 = 3,k^2 ;Longrightarrow; 36,l1^2 = 3,k^2 ;Longrightarrow; 12,l1^2 = k^2
Desse modo k^2 é múltiplo de 4, o que implica 2 divide k. Escrevendo k=2,k1, obtemos
12,l1^2 = (2,k1)^2 ;Longrightarrow; 12,l1^2 = 4,k1^2 ;Longrightarrow; 3,l1^2 = k1^2
Reproduzimos a mesma forma da equação original, agora com o par (k1,l1) de inteiros estritamente menores que (k,l).

Passo 5

O argumento acima gera um novo par (k1,l1) de inteiros positivos menores que (k,l) satisfazendo exatamente a mesma relação de comensurabilidade. Repetindo, obteríamos (k2,l2), depois (k3,l3) etc., produzindo uma sequência decrescente infinita de inteiros positivos — o que é impossível. Portanto, a hipótese de que s e h fossem comensuráveis leva a contradição.

Resposta

A altura e o lado de um triângulo equilátero são segmentos incomensuráveis.

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