Determine o número de lados de um polígono regular ABCDE …, sabendo que as bissetrizes AP e CP dos ângulos A e C formam um ângulo que vale 29 do seu ângulo interno.

Passo 1

Resumindo: temos um polígono regular de n lados cujos vértices são A,B,C,D,E,dots. As bissetrizes dos ângulos em A e em C se encontram em P e formam um ângulo que vale tfrac29 do ângulo interno do polígono. Vamos usar fórmulas de polígonos regulares (ângulo interno e ângulo central) e a propriedade de que, num polígono regular, todas as bissetrizes se encontram no centro.

Passo 2

O ângulo interno alpha de um polígono regular de n lados é
alpha = n-2ncdot 180^circ

Passo 3

Em todo polígono regular as bissetrizes dos ângulos se encontram no centro do polígono. Logo, P é o centro e AP e CP são raios do polígono.

Passo 4

O ângulo entre os raios AP e CP é o ângulo central correspondente ao arco de A até C. Como C está duas posições adiante de A, esse ângulo é
theta = 2cdot 360^circn ;=;720^circn

Passo 5

Pelo enunciado, theta = tfrac29,alpha. Substituindo:
720^circn ;=;29,n-2ncdot 180^circ
Podemos simplificar cancelando o fator de tfrac1n e os graus, ficando
720 = 40,(n-2) Longrightarrow 720 = 40n - 80 Longrightarrow 40n = 800 Longrightarrow n = 20

Resposta

20
O polígono regular tem 20 lados.

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