Dois polígonos convexos têm o número de lados expresso pelos números n e n+4. Determine o valor de n, sabendo que um dos polígonos tem 34 diagonais mais do que o outro.

Passo 1

O enunciado dá dois polígonos convexos cujos números de lados são D(m)=m(m-3)2 e . Ele afirma que um deles tem 34 diagonais a mais que o outro. O conteúdo que vamos usar é a fórmula do número de diagonais de um polígono convexo de lados, que é

Passo 2

Para fixar a ideia, lembramos por que vale
D(m)=m(m-3)2
Cada um dos vértices conecta-se a vértices não adjacentes, mas isso conta cada diagonal duas vezes, daí o fator .

Passo 3

Vamos escrever a diferença entre as diagonais do polígono de D(n+4)=(n+4)l((n+4)-3r)2 =(n+4)(n+1)2 =n^2+5n+42 lados e as do de D(n)=n(n-3)2 =n^2-3n2 lados. Primeiro,
D(n+4)-D(n) =n^2+5n+42-n^2-3n2 =(n^2+5n+4)-(n^2-3n)2 =8n+42 =4n+2
Então

Passo 4

O enunciado diz que essa diferença vale 34. Logo, montamos a equação
4n+2=34
Subtraindo 2 de ambos os lados,
4n=32
e dividindo por 4,
n=8

Resposta

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