Determine o polígono que tem 9 diagonais distintas.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o polígono que possui exatamente 9 diagonais distintas. O conteúdo que vamos usar é a fórmula do número de diagonais de um polígono simples com n lados:
D = n(n-3)2

Passo 2

Em um polígono de n lados, cada vértice pode ser ligado a outros n-3 vértices (não conta ele mesmo nem os dois vizinhos), mas essa contagem dupla contabiliza cada diagonal duas vezes. Por isso dividimos por 2, chegando à fórmula
D = n(n-3)2

Passo 3

Para que o polígono tenha 9 diagonais, basta igualar a fórmula a 9:
n(n-3)2 = 9

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 2 e rearranjando, obtemos a equação quadrática:
n(n-3) = 18 Longrightarrow n^2 - 3n - 18 = 0

Passo 5

Aplicando a fórmula de Bhaskara em n^2 -3n -18=0:
n = 3 pm raiz(-3)^2 - 4cdot1cdot(-18)2 = 3 pm raiz9 + 722 = 3 pm 92
As raízes são n=6 e n=-3. Descartamos n=-3 por não fazer sentido em número de lados.

Passo 6

O valor válido é n=6, ou seja, o polígono tem 6 lados. Isso corresponde a um hexágono.

Resposta

O polígono que tem exatamente 9 diagonais é o hexágono (polígono de 6 lados).

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