Dados dois polígonos regulares, com ( n+1 ) lados e n lados, respectivamente, determine n, sabendo que o ângulo interno do primeiro polígono excede o ângulo interno do segundo em 5^circ.

Passo 1

O enunciado fala de dois polígonos regulares, um com n+1 lados e outro com n lados, e diz que o ângulo interno do primeiro excede o do segundo em 5^circ. Vamos usar a fórmula do ângulo interno de um polígono regular para montar uma equação e encontrar n.

Passo 2

A fórmula do ângulo interno de um polígono regular de k lados é
alphak = 180^circ cdot k-2k
Para o polígono de n+1 lados temos
alphan+1 =180^circ cdot (n+1)-2n+1 =180^circ cdot n-1n+1,
e para o de n lados
alphan =180^circ cdot n-2n

Passo 3

Pelo enunciado,
alphan+1-alphan = 5^circ
Substituindo as expressões acima:
180^circ!(n-1n+1-n-2n)=5^circ

Passo 4

Calculamos a diferença dentro dos parênteses:
n-1n+1-n-2n =n(n-1)-(n+1)(n-2)n(n+1) =2n(n+1)
Logo a equação vira
180^circcdot 2n(n+1)=5^circ Longrightarrow 360n(n+1)=5 Longrightarrow n(n+1)=72
Resolvendo n^2+n-72=0
n=-1pmraiz1+2882 =-1pm172,
e a única solução positiva inteira é n=8.

Resposta

n=8

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