Aumentando o número de lados de um polígono em 3, seu número de diagonais aumenta em 21. Determine o número de diagonais desse polígono.

Passo 1

O enunciado fala de um polígono com n lados, cujo número de diagonais é dado por
D(n)=n(n-3)2
Quando aumentamos o número de lados em 3, o número de diagonais cresce exatamente 21. Vamos usar essa fórmula para descobrir n.

Passo 2

Escrevemos a condição de aumento de 21 diagonais ao passar de n para n+3 lados:
D(n+3)-D(n)=21

Passo 3

Substituindo a expressão de D(n), temos
D(n+3)=(n+3)((n+3)-3)2=(n+3),n2
e portanto
D(n+3)-D(n) =n(n+3)-n(n-3)2 =6n2 =3n
Daí vem
3n=21 Longrightarrow n=7

Passo 4

Calculamos o número de diagonais do polígono original com n=7:
D(7)=7,(7-3)2 =7cdot42 =14

Resposta

O polígono tem 14 diagonais.

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