Determine os pontos críticos das funções dadas nos Exercícios 1 a 14.
y=x+1 / \sqrt{x}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
y = x + \frac{1}{\sqrt{x}}.
O conteúdo envolvido é: derivada de funções de potência e definição de ponto crítico (onde y'=0 ou y' não existe).

Passo 2

Determinamos primeiro o domínio de y. Como aparece \sqrt{x} no denominador, precisamos de
x > 0.
Não há outros valores em que y deixe de existir dentro deste intervalo.

Passo 3

Calculamos a derivada de y. Escrevendo y = x + x^{-1/2}, temos
y'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(x^{-1/2}\bigr) = 1 - \frac12\,x^{-3/2}.

Passo 4

Buscamos onde y'(x)=0, pois dentro do domínio não surge indeterminação extra. Logo,
1 - \frac1{2\,x^{3/2}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac1{2\,x^{3/2}} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x^{3/2} = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad x = \bigl(\tfrac12\bigr)^{2/3}.

Passo 5

Calculamos o valor de y nesse x:
y\bigl((\tfrac12)^{2/3}\bigr) = (\tfrac12)^{2/3} \;+\; \frac1{\sqrt{(\tfrac12)^{2/3}}} = 2^{-2/3} + 2^{1/3} = 3 \cdot 2^{-2/3}.

Resposta

O único ponto crítico é
\bigl(2^{-2/3},\,3\cdot2^{-2/3}\bigr).

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