Usando a derivada do logaritmo, calcule y^prime :
y=(x+4x+7)^6

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
y = gl(x+4x+7gr)^6
usando diferenciação logarítmica. Vamos aproveitar que tirar o logaritmo simplifica o expoente e facilita a derivação de quocientes.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
ln y = lngl(x+4x+7gr)^6 = 6l[ln(x+4)-ln(x+7)r]

Passo 3

Agora derivamos implicitamente em relação a x. Lembrando que ddxln y = y'y e ddxln(u)=u'u, obtemos
y'y = 6l(1x+4-1x+7r) = 6cdot(x+7)-(x+4)(x+4)(x+7) = 6cdot3(x+4)(x+7) = 18(x+4)(x+7)

Passo 4

Isolando y' e substituindo y de volta,
y' = ycdot18(x+4)(x+7) = gl(x+4x+7gr)^618(x+4)(x+7)
Podemos simplificar um fator (x+4) e um fator (x+7):
y' = 18,(x+4)^6(x+7)^6cdot1(x+4)(x+7) = 18,(x+4)^5(x+7)^7

Resposta

y' = 18,(x+4)^5(x+7)^7

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