Determine os pontos P do plano cartesiano cujas coordenadas satisfazem as desigualdades:
1 caso: (2 x-y+4)(x+2 y-6)<0

Passo 1

O enunciado pede todos os pontos P=(x,y) do plano tais que
(2x - y + 4),(x + 2y - 6) < 0
O conteúdo é análise de sinais de produto de duas expressões lineares, o que se reduz a interpretar duas retas no plano e escolher as regiões onde um fator é positivo e o outro é negativo.

Passo 2

Para ter um produto negativo, exatamente um dos fatores deve ser positivo e o outro negativo. Assim existem dois casos:
Caso I: 2x - y + 4 > 0, x + 2y - 6 < 0, Caso II: 2x - y + 4 < 0, x + 2y - 6 > 0

Passo 3

Interpretamos cada desigualdade como meio– plano:
1. 2x - y + 4 > 0 'e o mesmo que
-y > -2x - 4 Long<=ftrightarrow y < 2x + 4
2. x + 2y - 6 < 0 'e o mesmo que
2y < 6 - x Long<=ftrightarrow y < 6 - x2
Logo, no Caso I ficamos com
y < 2x + 4 e y < 6 - x2

Passo 4

De forma an’alogica, no Caso II temos:
1. 2x - y + 4 < 0 d’a
y > 2x + 4,
2. x + 2y - 6 > 0 d’a
y > 6 - x2
Portanto, no Caso II
y > 2x + 4 e y > 6 - x2

Resposta

A coleção de todos os pontos P=(x,y) que satisfazem (2x - y + 4)(x + 2y - 6)<0 é a união de duas regiões abertas:
l(x,y)mid y < 2x + 4 e y < tfrac6 - x2r ;cup; l(x,y)mid y > 2x + 4 e y > tfrac6 - x2r

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