Obtenha uma reta paralela a r: x-y+7=0 e distante raiz2 do ponto C(2,2).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as retas paralelas à reta
r: x - y + 7 = 0
que estejam a uma distância raiz2 do ponto C(2,2).
O conteúdo principal aqui é a distância de um ponto a uma reta e a condição de paralelismo entre retas.

Passo 2

Como queremos retas paralelas a r, elas têm o mesmo coeficiente angular. A forma geral de uma reta paralela a r é
x - y + k = 0,
onde k é uma constante a determinar.

Passo 3

Vamos usar a fórmula da distância de um ponto (x0,y0) à reta ax + by + c = 0, que é
d = l|a x0 + b y0 + cr|raiza^2 + b^2
Aqui a=1, b=-1, c=k e (x0,y0)=(2,2). Como queremos d=raiz2, temos
l|1cdot2 +(-1)cdot2 + kr|raiz1^2 + (-1)^2 = l|2 - 2 + kr|raiz2 = |k|raiz2 = raiz2

Passo 4

Da igualdade
|k|raiz2 = raiz2
segue-se
|k| = raiz2,raiz2 = 2,
logo
k = 2 ou k = -2

Passo 5

Cada valor de k gera uma reta paralela distinta e à distância certa de C. Assim as soluções são
x - y + 2 = 0 e x - y - 2 = 0

Resposta

As retas procuradas são
boxedx - y + 2 = 0 e boxedx - y - 2 = 0

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