Determine o raio de uma esfera, sabendo que a diferença entre a sua área e a de uma zona sua de 5 cm de altura é igual à área de um fuso de 60^circ da mesma esfera.

Passo 1

O enunciado pede o raio de uma esfera de raio R tal que a diferença entre sua área total e a área de uma zona de altura 5,cm seja igual à área de um fuso esférico de 60^circ da mesma esfera.
Conteúdo: áreas em superfícies esféricas—área total, área de zona e área de fuso.

Passo 2

A área total de uma esfera de raio R é dada por
4pi R^2

Passo 3

A área de uma zona esférica de altura h num raio R vale
2pi R,h
Aqui h=5, logo a área da zona é
2pi Rcdot 5 = 10pi R

Passo 4

Um fuso esférico de ângulo alpha (em radianos) numa esfera de raio R tem área
2alpha,R^2
Para alpha=60^circ=pi/3 isso dá
2cdotpi3,R^2 = 2pi R^23

Passo 5

Igualamos diferença de áreas à área do fuso:
4pi R^2 - 10pi R = 2pi R^23
Multiplicando por 3 e simplificando:
12pi R^2 - 30pi R = 2pi R^2
10pi R^2 - 30pi R = 0
10pi R,(R - 3) = 0
Descartando R=0, obtemos R=3.

Resposta

O raio da esfera é 3,cm.

Exercícios de Livros Relacionados