Determine o raio de uma esfera, sabendo que a diferença entre a sua área e a de uma zona sua de 5 cm de altura é igual à área de um fuso de
da mesma esfera.
Passo 1
O enunciado pede o raio de uma esfera de raio
tal que a diferença entre sua área total e a área de uma zona de altura
seja igual à área de um fuso esférico de
da mesma esfera.
Conteúdo: áreas em superfícies esféricas—área total, área de zona e área de fuso.
Conteúdo: áreas em superfícies esféricas—área total, área de zona e área de fuso.
Passo 2
A área total de uma esfera de raio
é dada por
Passo 3
A área de uma zona esférica de altura
num raio
vale
Aqui
, logo a área da zona é
Passo 4
Um fuso esférico de ângulo
(em radianos) numa esfera de raio
tem área
Para
isso dá
Passo 5
Igualamos diferença de áreas à área do fuso:
Multiplicando por
e simplificando:
Descartando
, obtemos
.
Resposta
O raio da esfera é
.