Corta-se uma esfera de raio R por um plano a. A diferença das áreas das calotas obtidas é igual à área da seção determinada pelo plano. Qual a distância do plano ao centro da esfera?
Passo 1
O enunciado diz que uma esfera de raio
é seccionada por um plano a, que fica a uma distância
do centro. Isso gera duas calotas esféricas cujas áreas diferem em exatamente a área do círculo de interseção. O conteúdo usado envolve: a fórmula da área de uma calota esférica e a geometria da seção circular por um plano.
Passo 2
Seja
a distância do plano ao centro da esfera. A seção é um círculo de raio
dado por
As alturas das duas calotas medem-se desde o plano até cada “polo” da esfera:
- calota maior com altura
, - calota menor com altura
.
Passo 3
A área de uma calota esférica de raio da esfera
e altura
é
Logo, a diferença das áreas das calotas vale
Passo 4
A área da seção circular é
Pela condição do problema,
Passo 5
Cancelando
em ambos os lados e rearranjando, obtemos a equação
Resolvendo em
:
Como
deve ser não negativo e menor que
, escolhemos
Resposta
A distância do plano ao centro da esfera é