Corta-se uma esfera de raio R por um plano a. A diferença das áreas das calotas obtidas é igual à área da seção determinada pelo plano. Qual a distância do plano ao centro da esfera?

Passo 1

O enunciado diz que uma esfera de raio R é seccionada por um plano a, que fica a uma distância d do centro. Isso gera duas calotas esféricas cujas áreas diferem em exatamente a área do círculo de interseção. O conteúdo usado envolve: a fórmula da área de uma calota esférica e a geometria da seção circular por um plano.

Passo 2

Seja d a distância do plano ao centro da esfera. A seção é um círculo de raio r dado por
r^2 = R^2 - d^2
As alturas das duas calotas medem-se desde o plano até cada “polo” da esfera:
  • calota maior com altura h2 = R + d,
  • calota menor com altura h1 = R - d.

Passo 3

A área de uma calota esférica de raio da esfera R e altura h é
Acalota = 2pi R,h
Logo, a diferença das áreas das calotas vale
A2 - A1 = 2pi R,h2 ;-;2pi R,h1 = 2pi R,(h2 - h1) = 2pi Rl((R+d)-(R-d)r)=4pi R,d

Passo 4

A área da seção circular é
Asecção = pi r^2 = pil(R^2 - d^2r) çã
Pela condição do problema,
4pi R,d ;=;pil(R^2 - d^2r)

Passo 5

Cancelando pi em ambos os lados e rearranjando, obtemos a equação
4R,d = R^2 - d^2 Longrightarrow d^2 + 4R,d - R^2 = 0
Resolvendo em d:
d = -4R pm raiz(4R)^2 + 4R^22 =-4R pm Rraiz202 =Rl(-2 pm raiz5r)
Como d deve ser não negativo e menor que R, escolhemos
d = Rl(raiz5 - 2r)

Resposta

A distância do plano ao centro da esfera é
d = Rl(raiz5 - 2r)

Exercícios de Livros Relacionados