Um arco de
, pertencente a uma circunferência de raio 10 cm , gira em torno de um diâmetro que passa por uma de suas extremidades. Determine a área da calota gerada.
Passo 1
O enunciado dá um arco de
numa circunferência de raio
,cm e pede a área da superfície gerada quando esse arco gira em torno do diâmetro que passa por uma das suas extremidades. O conteúdo aqui é “área de superfície gerada por revolução de uma curva” e, em particular, o resultado coincidirá com a área de uma calota esférica de raio
e ângulo polar
.
Passo 2
Vamos montar a integral de superfície de revolução. Colocamos o centro da circunferência na origem e o diâmetro eixo de revolução ao longo do eixo
. Uma parametrização natural do arco é
com
variando de
a
.
Nesse caso, a distância de ao eixo
é
Nesse caso, a distância de
e o elemento de arco é
Passo 3
A fórmula da área de revolução em torno do eixo
é
Calculando a integral com
:
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Resposta
A área da calota gerada é
,
.