Um arco de 60^circ, pertencente a uma circunferência de raio 10 cm , gira em torno de um diâmetro que passa por uma de suas extremidades. Determine a área da calota gerada.

Passo 1

O enunciado dá um arco de 60^circ numa circunferência de raio R=10,cm e pede a área da superfície gerada quando esse arco gira em torno do diâmetro que passa por uma das suas extremidades. O conteúdo aqui é “área de superfície gerada por revolução de uma curva” e, em particular, o resultado coincidirá com a área de uma calota esférica de raio R e ângulo polar alpha=60^circ.

Passo 2

Vamos montar a integral de superfície de revolução. Colocamos o centro da circunferência na origem e o diâmetro eixo de revolução ao longo do eixo x. Uma parametrização natural do arco é
P(varphi) = l(x(varphi),y(varphi),0r) = l(10cosvarphi,;10sinvarphi,;0r),
com varphi variando de 0 a alpha=60^circ.
Nesse caso, a distância de P(varphi) ao eixo x é
y(varphi)=10sinvarphi,
e o elemento de arco é
ds = raizl(-10sinvarphir)^2 + l(10cosvarphir)^2,dvarphi =10,dvarphi

Passo 3

A fórmula da área de revolução em torno do eixo x é
S = 2pi integral0^alpha l[raio ao eixor],ds =2piintegral0^alpha l(10sinvarphir),(10,dvarphi) =200piintegral0^alphasinvarphi,dvarphi
Calculando a integral com alpha=60^circ:
integral0^60^circsinvarphi,dvarphi =1-cos(60^circ) =1-tfrac12 =tfrac12
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S=200picdottfrac12=100pi

Resposta

A área da calota gerada é 100pi, cm^2.

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