Determine os raios de duas esferas.
Um fuso de 60^circ de uma esfera é equivalente a um fuso de 30^circ de uma outra esfera. Determine os raios dessas esferas, sendo 24 cm sua soma.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os raios R1 e R2 de duas esferas tais que um fuso de 60^circ da primeira tem o mesmo volume de um fuso de 30^circ da segunda, e ainda sabemos que
R1 + R2 = 24 cm
O conteúdo envolve volume de fusos esféricos, que é proporcional ao ângulo central.

Passo 2

O volume V de um fuso esférico de raio R e ângulo central phi (em graus) é
V = phi360^circ,43pi R^3

Passo 3

Aplicando ao fuso de 60^circ na esfera de raio R1 e ao fuso de 30^circ na esfera de raio R2, igualamos os volumes:
60^circ360^circ,43pi R1^3 ;=; 30^circ360^circ,43pi R2^3
Cancelando tfrac43pi e simplificando os fatores de grau, obtemos
60360R1^3 = 30360R2^3 Longrightarrow 16R1^3 = 112R2^3 Longrightarrow 2,R1^3 = R2^3

Passo 4

Da relação R2^3 = 2,R1^3 segue
R2 = raiz[3]2;R1

Passo 5

Usamos agora R1 + R2 = 24:
R1 + raiz[3]2,R1 = 24 Longrightarrow R1l(1+raiz[3]2r) = 24 Longrightarrow R1 = 241+raiz[3]2
Então
R2 = 24 - R1 = 24 - 241+raiz[3]2 = 24,raiz[3]21+raiz[3]2
Numericamente,
R1 approx 10,62 cm, R2 approx 13,38 cm

Resposta

R1 = 241+raiz[3]2approx10,62 cm, R2 = 24,raiz[3]21+raiz[3]2approx13,38 cm

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