Determine a razão entre as áreas de um cubo e uma esfera, sabendo que seus volumes são iguais.

Passo 1

O enunciado pede a razão entre as áreas de um cubo e de uma esfera quando seus volumes são iguais. O conteúdo envolve fórmulas de volume e de área de sólidos geométricos e manipulação de potências para expressar uma grandeza em função da outra.

Passo 2

Volume do cubo de aresta a:
Vcubo = a^3
Volume da esfera de raio R:
Vesfera = 43,pi R^3
Igualando os volumes,
a^3 = 43,pi R^3 Longrightarrow a = l(tfrac4pi3r)^!1/3,R

Passo 3

Agora escrevemos as áreas:
Área do cubo:
Acubo = 6,a^2,
Área da esfera:
Aesfera = 4,pi,R^2
Logo a razão desejada é
AcuboAesfera = 6,a^24,pi,R^2 = 64pi,a^2R^2

Passo 4

Substituindo a^2 = l(tfrac4pi3r)^2/3R^2 na expressão acima,
AcuboAesfera = 64pi,l(tfrac4pi3r)^!2/3 = 64pi,(4pi)^2/33^2/3 = 6,(4pi)^2/34,pi;3^2/3
Separando potências e simplificando fatores, chega– se a
AcuboAesfera = l(tfrac6pir)^!1/3

Resposta

AcuboAesfera = l(tfrac6pir)^!1/3

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