Determine a razão entre o volume de um octaedro regular e o volume de um cilindro equilátero circunscrito a esse octaedro.
Passo 1
O enunciado pede a razão entre o volume de um octaedro regular e o volume de um cilindro equilátero que o circunscreve. Vamos:
- Modelar o octaedro pelos vértices
, e . - Lembrar que cilindro equilátero significa altura igual ao diâmetro da base:
. - Calcular separadamente
e e depois formar a razão.
Passo 2
Para cobrir todos os vértices do octaedro, o cilindro deve ter:
- Raio
tal que as projeções dos vértices no plano fiquem dentro da base. A maior distância ao eixo é , então . - Altura
igual à distância entre os vértices em , isto é, .
Como é cilindro equilátero, de fatoconfirma e .
O volume do cilindro é
Passo 3
O octaedro regular de aresta
tem volume
Na nossa modelagem, a aresta entre
e
vale
Logo,
Passo 4
A razão procurada é