Determine a razão entre o volume de um octaedro regular e o volume de um cilindro equilátero circunscrito a esse octaedro.

Passo 1

O enunciado pede a razão entre o volume de um octaedro regular e o volume de um cilindro equilátero que o circunscreve. Vamos:
  • Modelar o octaedro pelos vértices (pm a,0,0), (0,pm a,0) e (0,0,pm a).
  • Lembrar que cilindro equilátero significa altura igual ao diâmetro da base: h=2r.
  • Calcular separadamente Vrm oct e Vrm cil e depois formar a razão.

Passo 2

Para cobrir todos os vértices do octaedro, o cilindro deve ter:
  • Raio r tal que as projeções dos vértices no plano xy fiquem dentro da base. A maior distância ao eixo é a, então r=a.
  • Altura h igual à distância entre os vértices em z=pm a, isto é, h=2a.
    Como é cilindro equilátero, de fato h=2r confirma r=a e h=2a.
    O volume do cilindro é
Vcil = pi,r^2,h = pi,a^2cdot 2a = 2pi,a^3

Passo 3

O octaedro regular de aresta L tem volume
Voct = raiz23,L^3
Na nossa modelagem, a aresta entre (a,0,0) e (0,a,0) vale
L = raiza^2 + a^2 = araiz2
Logo,
Voct = raiz23,(araiz2)^3 = raiz23cdot 2raiz2,a^3 = 43,a^3

Passo 4

A razão procurada é
VoctVcil = tfrac43,a^32pi,a^3 = 43cdot 2pi = 23pi

Resposta

23pi

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