Duas esferas são circunscrita e inscrita em um mesmo octaedro. Calcule a razão entre seus volumes.
Passo 1
O enunciado pede a razão entre os volumes da esfera circunscrita e da esfera inscrita em um octaedro regular de aresta
. Vamos usar geometria de poliedros regulares para obter o raio da esfera que passa pelos vértices (\emph{circumradius}) e o raio da esfera que tangencia as faces (\emph{inradius}).
Passo 2
Para achar o \emph{circumradius}
, considere o octaedro canônico com vértices em
,
,
. Nesse caso a aresta vale
e o raio até cada vértice é
. Escalando para aresta
(fator
), temos
Passo 3
Para o \emph{inradius}
, note que em coordenadas canônicas uma face passa pelo plano
. A distância do centro
a esse plano é
. Escalando pelo mesmo fator
,
Passo 4
Os volumes são
Logo a razão é
Resposta
A razão entre os volumes é
.