Duas esferas são circunscrita e inscrita em um mesmo octaedro. Calcule a razão entre seus volumes.

Passo 1

O enunciado pede a razão entre os volumes da esfera circunscrita e da esfera inscrita em um octaedro regular de aresta a. Vamos usar geometria de poliedros regulares para obter o raio da esfera que passa pelos vértices (\emph{circumradius}) e o raio da esfera que tangencia as faces (\emph{inradius}).

Passo 2

Para achar o \emph{circumradius} R, considere o octaedro canônico com vértices em (pm1,0,0), (0,pm1,0), (0,0,pm1). Nesse caso a aresta vale raiz2 e o raio até cada vértice é 1. Escalando para aresta a (fator a/raiz2), temos
R = araiz2

Passo 3

Para o \emph{inradius} r, note que em coordenadas canônicas uma face passa pelo plano x+y+z=1. A distância do centro (0,0,0) a esse plano é 1/raiz3. Escalando pelo mesmo fator a/raiz2,
r = araiz2 cdot 1raiz3 = araiz6

Passo 4

Os volumes são
Vrm circ = 43pi R^3, Vrm insc = 43pi r^3
Logo a razão é
Vrm circVrm insc = l(Rrr)^3 = l(a/raiz2a/raiz6r)^3 = (raiz3)^3 = 3raiz3

Resposta

A razão entre os volumes é 3raiz3.

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