Em um cilindro circular reto de raio R e altura h, inscreva um paralelogramo retângulo de base quadrada e calcule a área total desse paralelepípedo.

Passo 1

O enunciado diz que temos um cilindro circular reto de raio R e altura h, e queremos inscrever nele um paralelepípedo retângulo cuja base é um quadrado. A tarefa é calcular a área total desse paralelepípedo. Para isso, precisamos (i) determinar a aresta a do quadrado inscrito no círculo de raio R e (ii) usar a fórmula da área total de um paralelepípedo retângulo de arestas a, a e h.

Passo 2

Na seção transversal do cilindro vemos um círculo de raio R e dentro dele um quadrado inscrito. A diagonal do quadrado vale 2R e, como a diagonal de um quadrado de lado a é araiz2, temos
araiz2 ;=; 2R
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a ;=; 2Rraiz2 ;=; raiz2,R

Passo 3

A altura do paralelepípedo é exatamente a altura do cilindro, ou seja, h. Assim o sólido inscrito tem arestas de comprimento ,a, a e h.

Passo 4

A área total At de um paralelepípedo retângulo de arestas a, a e h é a soma de:
  • duas bases quadradas de área a^2 cada, e
  • quatro faces retangulares de área atimes h cada.
    Portanto,
At = 2,a^2 + 4,a,h

Passo 5

Substituindo a = raiz2,R em At:
a^2 = (raiz2,R)^2 = 2R^2,
At = 2cdot(2R^2) + 4cdot(raiz2,R),h = 4R^2 + 4raiz2,R,h

Resposta

boxedAt = 4R^2 + 4raiz2,R,h

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