Determine quais das relações abaixo são relações de recorrência lineares e homogêneas com coeficientes constantes. Encontre também seus respectivos graus.
a_{n}=a_{n-1}+2 a_{n-3}

Passo 1

O enunciado apresenta a recorrência
a_{n} = a_{n-1} + 2\,a_{n-3}
e pede para verificar se ela é linear, homogênea, com coeficientes constantes, e em caso afirmativo determinar seu grau.

Passo 2

Uma relação de recorrência é dita linear quando o termo a_{n} aparece apenas de forma linear (sem produtos ou potências de a_k) e é escrita como combinação linear de termos anteriores. Aqui temos exatamente
a_{n} = 1\cdot a_{n-1} + 2\cdot a_{n-3},
logo é linear.

Passo 3

É homogênea se não há termo independente de a_k (nenhuma função externa de n). Como não aparece nenhum termo de “forçamento” ou constante isolada, a recorrência é homogênea.

Passo 4

Os coeficientes da combinação linear são 1 para a_{n-1}, 0 para a_{n-2} e 2 para a_{n-3}, todos independentes de n. Logo os coeficientes são constantes.

Passo 5

O grau (ou ordem) de uma recorrência é o maior “atraso” n-k que aparece. Aqui o maior atraso é n-(n-3)=3, então o grau é 3.

Resposta

A recorrência é linear, homogênea, com coeficientes constantes e de grau 3.

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