Determine quais das relações abaixo são relações de recorrência lineares e homogêneas com coeficientes constantes. Encontre também seus respectivos graus.
Passo 1
O enunciado apresenta a recorrência
e pede para verificar se ela é linear, homogênea, com coeficientes constantes, e em caso afirmativo determinar seu grau.
Passo 2
Uma relação de recorrência é dita linear quando o termo
aparece apenas de forma linear (sem produtos ou potências de
) e é escrita como combinação linear de termos anteriores. Aqui temos exatamente
logo é linear.
Passo 3
É homogênea se não há termo independente de
(nenhuma função externa de
). Como não aparece nenhum termo de “forçamento” ou constante isolada, a recorrência é homogênea.
Passo 4
Os coeficientes da combinação linear são
para
,
para
e
para
, todos independentes de
. Logo os coeficientes são constantes.
Passo 5
O grau (ou ordem) de uma recorrência é o maior “atraso”
que aparece. Aqui o maior atraso é
, então o grau é 3.
Resposta
A recorrência é linear, homogênea, com coeficientes constantes e de grau
.