Determine quais das relações abaixo são relações de recorrência lineares e homogêneas com coeficientes constantes. Encontre também seus respectivos graus.
a_{n}=a_{n-1}^{2}

Passo 1

Resumindo, temos só uma relação de recorrência:
a_{n}=a_{n-1}^{2}.
O que queremos checar é se ela é uma relação de recorrência linear e homogênea com coeficientes constantes, e em caso afirmativo, qual é o seu grau (isto é, a ordem da recorrência).

Passo 2

Definição: uma relação de recorrência é linear e homogênea com coeficientes constantes se pode ser escrita na forma
a_{n}+c_{1}a_{n-1}+c_{2}a_{n-2}+\cdots+c_{k}a_{n-k}=0,
ou equivalentemente
a_{n}=(-c_{1})\,a_{n-1}+(-c_{2})\,a_{n-2}+\cdots+(-c_{k})\,a_{n-k},
onde os c_{i} são números constantes. Note que nesta definição cada termo a_{n-i} aparece linearmente (em primeira potência) e não há termos como \bigl(a_{n-1}\bigr)^{2}, produtos entre termos defasados etc.

Passo 3

Na recorrência dada,
a_{n}=a_{n-1}^{2},
o termo a_{n-1} aparece elevado ao quadrado. Isso a torna não linear, pois exigiria que cada termo defasado entrasse apenas em grau 1 (primeira potência). Logo, não é uma recorrência linear homogênea com coeficientes constantes.

Resposta

A relação a_{n}=a_{n-1}^{2} não é linear homogênea de coeficientes constantes. Portanto, não se atribui a ela um “grau” no sentido de ordem de uma recorrência linear homogênea.

Exercícios de Livros Relacionados