Determine quais das relações abaixo são relações de recorrência lineares e homogêneas com coeficientes constantes. Encontre também seus respectivos graus.
Passo 1
Resumindo, temos só uma relação de recorrência:
O que queremos checar é se ela é uma relação de recorrência linear e homogênea com coeficientes constantes, e em caso afirmativo, qual é o seu grau (isto é, a ordem da recorrência).
Passo 2
Definição: uma relação de recorrência é linear e homogênea com coeficientes constantes se pode ser escrita na forma
ou equivalentemente
onde os
são números constantes. Note que nesta definição cada termo
aparece linearmente (em primeira potência) e não há termos como
, produtos entre termos defasados etc.
Passo 3
Na recorrência dada,
o termo
aparece elevado ao quadrado. Isso a torna não linear, pois exigiria que cada termo defasado entrasse apenas em grau 1 (primeira potência). Logo, não é uma recorrência linear homogênea com coeficientes constantes.
Resposta
A relação
não é linear homogênea de coeficientes constantes. Portanto, não se atribui a ela um “grau” no sentido de ordem de uma recorrência linear homogênea.