Determine quais das relações abaixo são relações de recorrência lineares e homogêneas com coeficientes constantes. Encontre também seus respectivos graus.
a_{n}=a_{n-1} / n

Passo 1

O enunciado pede para identificar se a relação de recorrência
a_{n} = \frac{a_{n-1}}{n}
é uma recorrência linear e homogênea com coeficientes constantes, e em caso afirmativo seu grau.

Passo 2

Uma recorrência linear de ordem k tem a forma
a_n = c_1\,a_{n-1} + c_2\,a_{n-2} + \cdots + c_k\,a_{n-k},
onde c_1,\dots,c_k são coeficientes constantes (não dependem de n). Ela é homogênea quando não há termo independente (sem a) no lado direito.

Passo 3

Na relação dada temos
a_n = \frac{1}{n}\,a_{n-1}.
É linear (só aparece a_{n-1} multiplicado por um fator) e homogênea (não há termo independente), mas o coeficiente \tfrac{1}{n} depende de n, ou seja, não é constante.

Passo 4

Apesar de ser de primeira ordem (depende apenas de a_{n-1}), por ter coeficiente variável ela não se enquadra como recorrência com coeficientes constantes.

Resposta

A relação é linear e homogênea de ordem 1, mas não tem coeficientes constantes, pois o fator \tfrac{1}{n} varia com n. Portanto, ela não pertence à classe de recorrências lineares homogêneas com coeficientes constantes.

Exercícios de Livros Relacionados