Determine a para que as retas de equações 3 x-3 y+2 a=0, a x-y=0 e 3 x+3 y-4 a=0 sejam concorrentes no mesmo ponto.

Passo 1

O enunciado pede os valores de a para que as três retas
3x-3y+2a=0, a x - y=0, 3x+3y-4a=0
sejam concorrentes, isto é, todas passem por um mesmo ponto. Para isso, vou primeiro encontrar o ponto de interseção das duas primeiras retas e, em seguida, impor que esse ponto satisfaça a terceira.

Passo 2

Calculo a interseção das retas
3x-3y+2a=0 e a x - y=0
Da segunda reta vem
y = a x
Substituindo em 3x-3y+2a=0,
3x - 3(a x) + 2a = 0 ;Longrightarrow; 3x -3a x +2a =0 ;Longrightarrow; x(3-3a) +2a =0 ;Longrightarrow; x = -2a3(1-a)
Logo
y = a x = -2a^23(1-a)
O ponto comum às duas primeiras retas é
l(x,yr) = l(-tfrac2a3(1-a),,-tfrac2a^23(1-a)r)

Passo 3

Agora imponho que esse ponto satisfaça a terceira reta 3x+3y-4a=0. Substituindo:
3!l(-tfrac2a3(1-a)r) +3!l(-tfrac2a^23(1-a)r) -4a = 0 ;Longrightarrow; -2a1-a-2a^21-a-4a=0
Colocando sobre o mesmo denominador:
-2a(1+a)1-a - 4a = 0 ;Longrightarrow; -l[2a(1+a)r] -4a(1-a) =0 ;Longrightarrow; -2a -2a^2 -4a +4a^2 =0 ;Longrightarrow; 2a^2 -6a =0 ;Longrightarrow; 2a(a-3)=0
Dessa equação seguem a=0 ou a=3. Como nenhum desses valores anula o denominador 1-a (que seria a=1), ambos são válidos.

Resposta

a=0 ou a=3

Exercícios de Livros Relacionados