Determine a segunda derivada de:
y=x2(x+1)

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de
y = x2(x+1)
O conteúdo aqui é diferenciação de funções racionais. Vamos usar a regra do quociente e também a simplificação por fator constante antes de derivar.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão extraindo a constante tfrac12:
y = x2(x+1) = tfrac12;xx+1
Assim basta derivar u(x)=tfracxx+1 e depois multiplicar por tfrac12.

Passo 3

Para u(x)=xx+1 usamos a regra do quociente
u'(x)=(x+1)cdot 1 - xcdot 1(x+1)^2 =1(x+1)^2
Logo
y'(x) = tfrac12,u'(x) = 12(x+1)^2

Passo 4

Agora derivamos
y'(x)=12, (x+1)^-2
usando regra de potência:
y''(x) = 12cdot(-2),(x+1)^-3cdotddx(x+1) = -,(x+1)^-3
Isto é
y''(x) = -1(x+1)^3

Resposta

y''(x) = -1(x+1)^3

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