Determine as aproximações quadrática e cúbica no ponto x0=0, das seguintes funções:
f(x)=ln (x^3+5 x+5)

Passo 1

O enunciado pede as aproximações polinomiais de Taylor de ordem 2 (quadrática) e ordem 3 (cúbica) de
f(x)=lnl(x^3+5x+5r)
em torno de x0=0. O conteúdo principal aqui é a expansão em série de Taylor de ln(1+u) e a combinação de termos para obter até x^3.

Passo 2

Para usar a expansão de ln, vamos escrever
x^3+5x+5 = 5l(1 + u(x)r),
onde
u(x)=5x + x^35=x+x^35
Então
f(x)=lnl(5(1+u(x))r)=ln5 + lnl(1+u(x)r)

Passo 3

Usamos a série de Taylor de ordem 3 para ln(1+u) em torno de u=0:
ln(1+u)=u - u^22 + u^33 + O(u^4)
Substituímos u=x + tfracx^35 e mantemos termos até x^3.

Passo 4

Calculemos u, u^2 e u^3 até ordem 3:
u = x + x^35, u^2 = x^2 + O(x^4), u^3 = x^3 + O(x^5)
Logo,
ln(1+u) = l(x + x^35r) - 12,x^2 + 13,x^3 + O(x^4)

Passo 5

Agora somamos ln5 e coletamos os termos em cada potência de x:
f(x)=ln5 + x - x^22 + l(x^35 + x^33r) + O(x^4) =ln5 + x - x^22 + 815x^3 + O(x^4)

Resposta

A aproximação quadrática (polinômio de Taylor de ordem 2) é
T2(x)=ln5 + x - x^22,
e a aproximação cúbica (polinômio de Taylor de ordem 3) é
T3(x)=ln5 + x - x^22 + 815x^3

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