Determine as aproximações quadrática e cúbica no ponto
, das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede as aproximações polinomiais de Taylor de ordem 2 (quadrática) e ordem 3 (cúbica) de
em torno de
. O conteúdo principal aqui é a expansão em série de Taylor de
e a combinação de termos para obter até
.
Passo 2
Para usar a expansão de
, vamos escrever
onde
Então
Passo 3
Usamos a série de Taylor de ordem 3 para
em torno de
:
Substituímos
e mantemos termos até
.
Passo 4
Calculemos
,
e
até ordem 3:
Logo,
Passo 5
Agora somamos
e coletamos os termos em cada potência de
:
Resposta
A aproximação quadrática (polinômio de Taylor de ordem 2) é
e a aproximação cúbica (polinômio de Taylor de ordem 3) é