Determine a segunda derivada de:
y=(1+1x)^2

Passo 1

O enunciado dá
y=gl(1+1xgr)^2
e pede a segunda derivada y''. Para isso vamos usar a regra da cadeia para obter y' e depois derivar novamente usando regras de potência e soma.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=1+1x=1+x^-1
e temos y=u^2. Pela regra da cadeia:
u'(x)=-x^-2, y'=2,u(x),u'(x)
Logo,
y'=2l(1+x^-1r)l(-x^-2r) =-2,1+tfrac1xx^2

Passo 3

Vamos simplificar y'. Como
1+tfrac1x=tfracx+1x ,
temos
y'=-2;x+1x;1x^2 =-2,x+1x^3

Passo 4

Agora derivamos y'. Escrevendo
y'=-2l(x+1r)x^-3 =-2l(x^-2+x^-3r),
temos
ddxl(-2x^-2r)=4x^-3, ddxl(-2x^-3r)=6x^-4
Portanto
y''=4x^-3+6x^-4

Passo 5

Fatorando x^-4 em y'',
y''=x^-4(4x+6) =4x+6x^4 =2(2x+3)x^4

Resposta

y''=2(2x+3)x^4

Exercícios de Livros Relacionados