Determine a taxa de variação com x da função f(x) no ponto correspondente ao valor de x especificado.
f(x)=x-\sqrt{x}+\frac{1}{x^{2}} ; x=1

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x - \sqrt{x} + \frac{1}{x^{2}}
e pede a taxa de variação com respeito a x no ponto x=1.
O conteúdo é derivação de funções, usando regra da soma e regra do expoente.

Passo 2

Para obter f'(x), derivamos termo a termo:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x\bigr) - \frac{d}{dx}\bigl(x^{\tfrac12}\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}\bigr).
Aplicando regra do poder ( \frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}):
\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=1,\quad \frac{d}{dx}\bigl(x^{\tfrac12}\bigr)=\tfrac12\,x^{-\tfrac12},\quad \frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}\bigr)=-2\,x^{-3}.
Logo,
f'(x) =1 - \frac{1}{2\,\sqrt{x}} - \frac{2}{x^{3}}.

Passo 3

Agora avaliamos em x=1:
f'(1) =1 - \frac{1}{2\,\sqrt{1}} - \frac{2}{1^{3}} =1 - \tfrac12 - 2 =-\tfrac32.

Resposta

-\tfrac32

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