Determine o termo geral da sequência definida por: a_{0}=2, a_{1}=503 e
a_{n-2}=503 a_{n+1}-1996 a_{n} .

Passo 1

O enunciado define a sequência \{a_n\} por
a_{0}=2,\quad a_{1}=503,
e pela relação de recorrência de segunda ordem
a_{n+2}=503\,a_{n+1}-1996\,a_{n}.
O conteúdo usado será o método da equação característica para resolver recorrências lineares com coeficientes constantes.

Passo 2

Assumimos solução do tipo a_n=r^n. Substituindo em
a_{n+2}-503\,a_{n+1}+1996\,a_{n}=0
vem a equação característica
r^2-503\,r+1996=0.

Passo 3

Calculamos o discriminante:
\Delta =503^2-4\cdot1996 =253009-7984 =245025 =495^2.
Assim as raízes são
r_{1}=\frac{503+495}{2}=499,\qquad r_{2}=\frac{503-495}{2}=4.

Passo 4

Como as raízes são distintas, a solução geral é
a_n = \alpha\,(499)^n + \beta\,(4)^n,
onde \alpha e \beta são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Usamos n=0\) e \(n=1\): Para \(n=0\): \(\alpha+\beta= a_{0}=2.\) Para \(n=1\): \(499\,\alpha+4\,\beta= a_{1}=503.\) Resolvendo \[\begin{cases} \alpha+\beta=2,\\\\ 499\,\alpha+4\,\beta=503, \end{cases}
subtraindo 4\] vezes a primeira de a segunda: \[499\,\alpha+4\,\beta - (4\,\alpha+4\,\beta)=503-8 \;\Longrightarrow\;495\,\alpha=495 \;\Longrightarrow\;\alpha=1,\] logo \(\beta=2-1=1.

Resposta

\boxed{a_n = 499^n + 4^n.}

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