19-22 Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem de f.
z=x e^{-2 y}

Passo 1

O enunciado pede para determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y)=x\,e^{-2y}.
Vamos primeiro obter as derivadas parciais de primeira ordem usando definição de derivada parcial (tratando a outra variável como constante) e em seguida derivar de novo.

Passo 2

Calcular \displaystyle f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,e^{-2y}\bigr).
Como y é tratado como constante, a derivada de x é 1 e e^{-2y} é constante em relação a x.
f_x = e^{-2y}.

Passo 3

Calcular \displaystyle f_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,e^{-2y}\bigr).
Aqui x é constante e usamos a regra da cadeia para e^{-2y}.
f_y = x \cdot \frac{d}{dy}\bigl(e^{-2y}\bigr) = x \cdot (-2)\,e^{-2y} = -2x\,e^{-2y}.

Passo 4

Agora as segundas parciais mistas e em x duas vezes:
  1. \displaystyle f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(f_x\bigr) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{-2y}\bigr).
    Mas e^{-2y} não depende de x, logo
f_{xx} = 0.
  1. \displaystyle f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(f_x\bigr) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{-2y}\bigr) = -2\,e^{-2y}. \]

Passo 5

Agora as segundas parciais em ordem inversa e em y duas vezes:
  1. \displaystyle f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(f_y\bigr) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-2x\,e^{-2y}\bigr) = -2\,e^{-2y}. 2. \displaystyle f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(f_y\bigr) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2x\,e^{-2y}\bigr) = -2x \cdot (-2)\,e^{-2y} = 4x\,e^{-2y}.

Resposta

f_{xx} = 0,\quad f_{xy} = -2\,e^{-2y},\quad f_{yx} = -2\,e^{-2y},\quad f_{yy} = 4x\,e^{-2y}.

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