19-22 Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem de
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
Vamos primeiro obter as derivadas parciais de primeira ordem usando definição de derivada parcial (tratando a outra variável como constante) e em seguida derivar de novo.
Passo 2
Calcular
.
Como é tratado como constante, a derivada de
é
e
é constante em relação a
.
Como
Passo 3
Calcular
.
Aqui é constante e usamos a regra da cadeia para
.
Aqui
Passo 4
Agora as segundas parciais mistas e em
duas vezes:
-
.
Masnão depende de , logo
Passo 5
Agora as segundas parciais em ordem inversa e em
duas vezes:
-
2.