13-17 Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
S(u, v, w)=u \operatorname{arctg}(v \sqrt{w})

Passo 1

O enunciado dá a função
S(u,v,w) = u \,\operatorname{arctg}\bigl(v\sqrt{w}\bigr)
e pede as derivadas parciais de primeira ordem. Para isso vamos usar:
  1. A regra do produto, pois S é u vezes uma função de (v,w).
  2. A regra da cadeia para derivar \operatorname{arctg}\bigl(v\sqrt{w}\bigr), lembrando que
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{arctg}(x)\bigr] = \frac{1}{1 + x^2}.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial S}{\partial u}.
Tratando v e w como constantes, a derivada em relação a u é simplesmente
\frac{\partial S}{\partial u} = \operatorname{arctg}\bigl(v\sqrt{w}\bigr).

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial S}{\partial v}.
Aqui u e w são constantes, e aplicamos a regra da cadeia:
\frac{\partial S}{\partial v} = u \cdot \frac{d}{dv}\Bigl[\operatorname{arctg}\bigl(v\sqrt{w}\bigr)\Bigr] = u \cdot \frac{1}{1 + \bigl(v\sqrt{w}\bigr)^{2}}\cdot \frac{d}{dv}\bigl(v\sqrt{w}\bigr).
Como \dfrac{d}{dv}(v\sqrt{w}) = \sqrt{w}, obtemos
\frac{\partial S}{\partial v} = u \,\frac{\sqrt{w}}{1 + v^{2}w}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial S}{\partial w}.
Agora u e v são constantes. De novo, regra da cadeia:
\frac{\partial S}{\partial w} = u \cdot \frac{1}{1 + \bigl(v\sqrt{w}\bigr)^{2}}\cdot \frac{d}{dw}\bigl(v\sqrt{w}\bigr).
Temos
\frac{d}{dw}\bigl(v\sqrt{w}\bigr) = v \cdot \frac{d}{dw}\bigl(w^{1/2}\bigr) = v \cdot \frac{1}{2}w^{-1/2} = \frac{v}{2\sqrt{w}}.
Logo
\frac{\partial S}{\partial w} = u \,\frac{1}{1 + v^{2}w}\cdot \frac{v}{2\sqrt{w}} = u \,\frac{v}{2\sqrt{w}\,\bigl(1 + v^{2}w\bigr)}.

Resposta

\frac{\partial S}{\partial u}(u,v,w) = \operatorname{arctg}\bigl(v\sqrt{w}\bigr),
\frac{\partial S}{\partial v}(u,v,w) = u \,\frac{\sqrt{w}}{1 + v^{2}w},
\frac{\partial S}{\partial w}(u,v,w) = u \,\frac{v}{2\sqrt{w}\,\bigl(1 + v^{2}w\bigr)}.

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