9-10 Calcule o limite ou mostre que ele não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \frac{2 x y}{x^{2}+2 y^{2}}\\\

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{2xy}{x^2+2y^2}.
O conteúdo é limite de função de duas variáveis e usaremos o fato de que quocientes de polinômios são contínuos onde o denominador é não nulo.

Passo 2

Observamos que o denominador
x^2+2y^2
é um polinômio que em (1,1) vale 1^2+2\cdot1^2=3\neq0. Portanto a função
f(x,y)=\frac{2xy}{x^2+2y^2}
é contínua em (1,1) e o limite existe e coincide com o valor de f nesse ponto.

Passo 3

Bastou substituir (x,y)=(1,1) em f:
f(1,1)=\frac{2\cdot1\cdot1}{1^2+2\cdot1^2}=\frac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}

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