Determine todos os inteiros com primeiro dígito igual a 6 e que possui a seguinte propriedade: Se este primeiro dígito é apagado, o número resultante é igual a 1 / 25 do valor original.

Passo 1

O enunciado pede todos os inteiros N cuja primeira casa decimal é 6 e tal que, ao apagarmos esse algarismo, o número que sobra (que vamos chamar de m) satisfaz
m = 125 ,N
O tema aqui é manipulação de potência de 10 e divisão de inteiros em base decimal.

Passo 2

Seja N um inteiro com k+1 dígitos e primeiro dígito igual a 6. Podemos escrever
N = 6cdot 10^k + m,
onde m é o inteiro formado pelos k dígitos restantes (ou seja, 0 <= m < 10^k).

Passo 3

Impondo a condição m = tfrac125N, temos
m = 125l(6cdot10^k + mr) Longrightarrow 25m = 6cdot10^k + m Longrightarrow 24m = 6cdot10^k Longrightarrow m = 6cdot10^k24 = 10^k4

Passo 4

Para que m seja inteiro, precisamos de 10^k múltiplo de 4, ou seja, k>=2. Então
m = 10^k4 = 25cdot10^,k-2,
e
N = 6cdot10^k + m = 6cdot10^k + 25cdot10^,k-2 = 625cdot10^,k-2
Definindo n = k-2, com n>=0, obtemos
N = 625cdot10^n

Passo 5

Em decimal, isso gera exatamente os números
625,;6250,;62500,;625000,;dots
todos com primeiro dígito 6 e satisfazendo m = N/25.

Resposta

Todos os inteiros que satisfazem o enunciado são
boxedN = 625 times 10^n, n = 0,1,2,dots
ou seja, 625,6250,62500,dots.

Exercícios de Livros Relacionados