Prove que se
é um inteiro ímpar maior que 3, então
é divisível por 64 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro ímpar
,
é múltiplo de
.
Isso é um problema de teoria dos números, e vamos resolvê-lo fatorando o polinômio e investigando as potências de que aparecem.
Isso é um problema de teoria dos números, e vamos resolvê-lo fatorando o polinômio e investigando as potências de
Passo 2
Como
é ímpar, existe
tal que
Substituindo em
, temos:
Mas em vez de expandir totalmente, observe que é mais eficiente fatorar diretamente:
Passo 3
Note que
Cada fator pode ser reescrito em termos de
:
Então
Passo 4
Para concluir que isso é múltiplo de
, basta ver que
é sempre múltiplo de
. De fato, em inteiros:
- Entre
e , um é par, logo traz pelo menos um fator . - O termo
é sempre par, pois é par. Assim, traz mais um fator .
Portanto, o produto
contém pelo menos
como fator, e então
é múltiplo de
.
Resposta
Logo, para todo inteiro ímpar
,
é divisível por
.