Prove que se n é um inteiro ímpar maior que 3, então n^4-18 n^2+17 é divisível por 64 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro ímpar n>3,
n^4-18n^2+17
é múltiplo de 64.
Isso é um problema de teoria dos números, e vamos resolvê-lo fatorando o polinômio e investigando as potências de 2 que aparecem.

Passo 2

Como n é ímpar, existe kinZ tal que
n = 2k+1
Substituindo em n^4-18n^2+17, temos:
n^2 = (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1,
n^4 = (n^2)^2 = (4k^2+4k+1)^2
Mas em vez de expandir totalmente, observe que é mais eficiente fatorar diretamente:

Passo 3

Note que
n^4-18n^2+17 = (n^2-1)(,n^2-17,)
Cada fator pode ser reescrito em termos de k:
n^2-1 = (2k+1)^2-1 = 4k^2+4k+1 -1 = 4k(k+1),
n^2-17 = (2k+1)^2-17 = 4k^2+4k+1 -17 = 4l(k^2+k-4r)
Então
n^4-18n^2+17 = 4k(k+1);times;4l(k^2+k-4r) = 16,k(k+1)l(k^2+k-4r)

Passo 4

Para concluir que isso é múltiplo de 64, basta ver que
k(k+1)l(k^2+k-4r)
é sempre múltiplo de 4. De fato, em inteiros:
  1. Entre k e k+1, um é par, logo k(k+1) traz pelo menos um fator 2.
  2. O termo k^2+k-4 = k(k+1)-4 é sempre par, pois k(k+1) é par. Assim, k^2+k-4 traz mais um fator 2.
Portanto, o produto
k(k+1)l(k^2+k-4r)
contém pelo menos 2times 2=4 como fator, e então
16,k(k+1)l(k^2+k-4r)
é múltiplo de 16times 4 = 64.

Resposta

Logo, para todo inteiro ímpar n>3, n^4-18n^2+17 é divisível por 64.

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