Prove que a soma dos quadrados de cinco inteiros consecutivos não pode ser o quadrado de um inteiro.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos mostrar que a soma dos quadrados de cinco inteiros consecutivos
S = n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2 + (n+4)^2
não pode ser o quadrado de nenhum inteiro. O conteúdo utilizado será cálculo de soma de quadrados e argumento por congruência (módulo 5).

Passo 2

Vamos calcular S explicitamente. Usando
sumk=0^4(n+k)^2 = sumk=0^4l(n^2 + 2nk + k^2r)
temos
S = 5n^2 + 2nsumk=0^4 k + sumk=0^4 k^2 = 5n^2 + 2ncdot10 + (0+1+4+9+16) = 5n^2 + 20n + 30

Passo 3

Reescrevendo o polinômio,
5n^2 + 20n + 30 = 5l(n^2 + 4n + 6r) = 5l((n+2)^2 + 2r)
Defina m = n+2. Assim
S = 5l(m^2 + 2r)

Passo 4

Suponha, por absurdo, que S seja um quadrado perfeito, isto é, exista inteiro k tal que
k^2 = 5l(m^2 + 2r)
Então k^2equiv 0pmod5, logo k é múltiplo de 5: escreva k=5k1. Substituindo,
25k1^2 = 5(m^2+2) Longrightarrow 5k1^2 = m^2 + 2 Longrightarrow m^2 equiv -2 equiv 3 pmod5
Mas os quadrados módulo 5 só podem ser 0,1 ou 4, nunca 3. Isso é uma contradição.

Resposta

Não existe inteiro n tal que
n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2 + (n+4)^2
seja um quadrado perfeito.

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