Prove que a soma dos quadrados de cinco inteiros consecutivos não pode ser o quadrado de um inteiro.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos mostrar que a soma dos quadrados de cinco inteiros consecutivos
não pode ser o quadrado de nenhum inteiro. O conteúdo utilizado será cálculo de soma de quadrados e argumento por congruência (módulo 5).
Passo 2
Vamos calcular
explicitamente. Usando
temos
Passo 3
Reescrevendo o polinômio,
Defina
. Assim
Passo 4
Suponha, por absurdo, que
seja um quadrado perfeito, isto é, exista inteiro
tal que
Então
, logo
é múltiplo de 5: escreva
. Substituindo,
Mas os quadrados módulo 5 só podem ser
ou
, nunca
. Isso é uma contradição.
Resposta
Não existe inteiro
tal que
seja um quadrado perfeito.