Determine o valor das expressões a seguir sem usar uma tabela ou uma calculadora.
\quad \ln 9 e^{2}+\ln 3 e_{-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\ln(9e^{2}) \;+\;\ln(3e^{-2})
sem usar calculadora, aplicando propriedades de logaritmos e de potências.

Passo 2

Usamos a propriedade da soma de logaritmos:
\ln A + \ln B = \ln\bigl(A\,B\bigr).
Logo,
\ln(9e^{2}) + \ln(3e^{-2}) = \ln\bigl(9e^{2}\cdot 3e^{-2}\bigr).

Passo 3

Simplificamos o produto interno:
9 vezes 3 é 27 e
e^{2}\cdot e^{-2} = e^{2-2} = e^{0} = 1.
Portanto,
9e^{2}\cdot 3e^{-2} = 27\cdot 1 = 27.

Passo 4

Fica então
\ln(27).
Reconhecendo que 27 = 3^{3}, aplicamos a propriedade de potência do logaritmo:
\ln(27) = \ln\bigl(3^{3}\bigr) = 3\,\ln(3).

Resposta

\ln(27) ou, equivalentemente, 3\ln(3).

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