Determine todos os números x reais que satisfazem a equação dada.
e^{2 x}+2 e^{x}-3=0 (Sugestão: Faça u=e^{x}.)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores reais de x que satisfazem
e^{2x} + 2e^{x} - 3 = 0.
O conteúdo é equação exponencial, e a sugestão é usar a substituição \,u = e^{x} para transformar em uma equação polinomial.

Passo 2

Fazendo u = e^{x}, temos u>0 e
e^{2x} = (e^{x})^2 = u^2.
Substituindo na equação original, vem
u^2 + 2u - 3 = 0.

Passo 3

Para resolver a quadrática u^2 + 2u - 3 = 0, calculamos o discriminante:
\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.
As raízes são
u = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2},
portanto
u_1 = 1 \quad\text{e}\quad u_2 = -3.

Passo 4

Como u = e^{x} deve ser positivo, descartamos u_2 = -3. Mantemos u=1, ou seja
e^{x} = 1
e, aplicando o logaritmo natural, obtemos
x = \ln(1) = 0.

Resposta

x = 0

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