Seja p>2 um número primo. Prove que:
1^p-1+2^p-1+ldots+(p-1)^p-1 equiv-1(bmod p).
Sugestão: Use o pequeno teorema de Fermat para cada uma das parcelas do primeiro membro.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sendo p>2 um primo,
sumk=1^p-1 k^p-1 equiv -1 pmod p
O conteúdo central é o Pequeno Teorema de Fermat, que diz que se pnmid a então
a^p-1 equiv 1 pmod p

Passo 2

Como para todo k com 1 <= k <= p-1 temos gcd(k,p)=1, o Pequeno Teorema de Fermat garante
k^p-1 equiv 1 pmod p

Passo 3

Somando essa congruência para k=1,2,dots,p-1, vem
sumk=1^p-1 k^p-1 equiv sumk=1^p-1 1 = p-1 equiv -1 pmod p,
já que p-1equiv -1pmod p.

Resposta

1^p-1+2^p-1+cdots+(p-1)^p-1equiv -1pmod p

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