Determine todos os pontos (forneça as duas coordenadas) sobre a curva dada para os quais a reta tangente é (a) horizontal e (b) vertical.
\frac{y}{x}-\frac{x}{y}=5

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
\frac{y}{x} \;-\;\frac{x}{y} \;=\;5
O conteúdo é derivação implícita para achar a inclinação da reta tangente y'. Para retas horizontais precisamos de y'=0 (numerador zero) e para retas verticais precisamos de denominador zero.

Passo 2

Reescrevendo a curva num formato mais simples, multiplicamos ambos os lados por xy:
y^2 - 5xy - x^2 = 0.
Agora derivamos implicitamente em relação a x:
2 y y' - 5 \bigl(y + x y'\bigr) - 2 x = 0 \Rightarrow (2 y - 5 x) y' = 5 y + 2 x \Rightarrow
y' = \frac{5 y + 2 x}{2 y - 5 x}.

Passo 3

Para tangente horizontal impomos y'=0, ou seja,
5y + 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac{2}{5}x.
Substituindo na curva y^2 -5xy -x^2=0 obtemos somente x=0, daí y=0, que não pertence à curva original (divide por zero). Logo não há ponto com reta tangente horizontal.

Passo 4

Para tangente vertical impomos denominador zero, ou seja,
2y - 5x = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = \tfrac{5}{2}x.
Substituindo na curva y^2 -5xy -x^2=0 também dá apenas x=0,y=0, fora da curva. Logo não há ponto com reta tangente vertical.

Resposta

Não existem pontos sobre a curva em que a reta tangente seja (a) horizontal nem (b) vertical.

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