Determine todos os primos
tais que
é um quadrado perfeito.
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os números primos
tais que
é um quadrado perfeito.
O conteúdo principal aqui é resolver uma equação diofantina simples e usar critérios de divisibilidade e fatoração para garantir que o resultado seja primo.
O conteúdo principal aqui é resolver uma equação diofantina simples e usar critérios de divisibilidade e fatoração para garantir que o resultado seja primo.
Passo 2
Começamos escrevendo
onde
é um inteiro positivo. Isolando
, obtemos
Para que
seja inteiro,
precisa ser divisível por
.
Passo 3
Como
é primo, a condição
implica
Logo podemos escrever
com
inteiro e
.
Passo 4
Caso
, temos
logo
Para
ser primo, um dos fatores deve ser
. Se
, vem
Para
, ambos os fatores são maiores que
e
fica composto.
Passo 5
Caso
, temos
logo
Novamente, para
ser primo precisamos que um dos fatores seja
. Se
,
não é primo; para
fica composto. Não surgem primos nesse caso.
Resposta
O único primo
que satisfaz
ser um quadrado perfeito é