Determine todos os primos p tais que 17 p+1 é um quadrado perfeito.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os números primos p tais que
17p + 1
é um quadrado perfeito.
O conteúdo principal aqui é resolver uma equação diofantina simples e usar critérios de divisibilidade e fatoração para garantir que o resultado seja primo.

Passo 2

Começamos escrevendo
17p + 1 = n^2,
onde n é um inteiro positivo. Isolando p, obtemos
p = n^2 - 117 = (n-1)(n+1)17
Para que p seja inteiro, (n-1)(n+1) precisa ser divisível por 17.

Passo 3

Como 17 é primo, a condição (n-1)(n+1)equiv0pmod17 implica
n^2 equiv 1 pmod17 Longrightarrow nequiv pm1 pmod17
Logo podemos escrever
n = 17k + 1 ou n = 17k - 1,
com k inteiro e n>0.

Passo 4

Caso n = 17k + 1, temos
n^2 - 1 = (17k+1)^2 - 1 = 289k^2 +34k =17l(17k^2 +2kr),
logo
p = 17k^2 +2k = k(17k+2)
Para p ser primo, um dos fatores deve ser 1. Se k=1, vem
p = 1cdot(17cdot1+2)=19
Para k>1, ambos os fatores são maiores que 1 e p fica composto.

Passo 5

Caso n = 17k - 1, temos
n^2 - 1 = (17k-1)^2 - 1 = 289k^2 -34k =17l(17k^2 -2kr),
logo
p = 17k^2 -2k = k(17k-2)
Novamente, para p ser primo precisamos que um dos fatores seja 1. Se k=1, p=15 não é primo; para k>1 fica composto. Não surgem primos nesse caso.

Resposta

O único primo p que satisfaz 17p+1 ser um quadrado perfeito é
boxed19

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