Prove que se n-10, n+10 e n+60 são primos, então n+90 também é.

Passo 1

O enunciado afirma que
p1=n-10, p2=n+10 e p3=n+60 são primos, e pede para mostrar que então
p4=n+90 também é primo.
O conteúdo chave aqui é aritmética modular, em particular módulo 3, pois todo primo maior que 3 não pode ser divisível por 3.

Passo 2

Observamos primeiro as diferenças entre esses números módulo 3:
(n+10)-(n-10)=20equiv2pmod3
(n+60)-(n-10)=70equiv1pmod3
Denotando p1=n-10, p2=n+10 e p3=n+60, temos
p2equiv p1+2pmod3,
p3equiv p1+1pmod3
Assim p1,p2,p3 ocupam as três classes residuais 0,1,2 módulo 3, logo exatamente um deles é múltiplo de 3. Como os três são primos, aquele que for múltiplo de 3 deve ser necessariamente igual a 3.

Passo 3

Analisamos qual deles pode ser 3 sem gerar contradição de positividade e primalidade:
– Se p2=3, então n+10=3Rightarrow n=-7, o que faz p1=n-10=-17 não ser primo positivo.
– Se p3=3, então n+60=3Rightarrow n=-57, o que faz p1=-67 não ser primo positivo.
– Logo a única opção viável é
p1=3Rightarrow n-10=3Rightarrow n=13
Nesse caso
n+10=23e n+60=73,
ambos de fato primos.

Passo 4

Com n=13 obtemos
p4=n+90=13+90=103
Para verificar que 103 é primo, basta notar que raiz103<11 e 103 não é divisível por 2,3,5 nem 7. Portanto 103 é primo.

Resposta

n+90 é primo (no caso concreto n+90=103).

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