Prove que se
e
são primos, então
também é.
Passo 1
O enunciado afirma que
,
e
são primos, e pede para mostrar que então
também é primo.
O conteúdo chave aqui é aritmética modular, em particular módulo 3, pois todo primo maior que 3 não pode ser divisível por 3.
O conteúdo chave aqui é aritmética modular, em particular módulo 3, pois todo primo maior que 3 não pode ser divisível por 3.
Passo 2
Observamos primeiro as diferenças entre esses números módulo 3:
Denotando
,
e
, temos
Assim
ocupam as três classes residuais
módulo 3, logo exatamente um deles é múltiplo de 3. Como os três são primos, aquele que for múltiplo de 3 deve ser necessariamente igual a 3.
Passo 3
Analisamos qual deles pode ser 3 sem gerar contradição de positividade e primalidade:
– Se
, então
, o que faz
não ser primo positivo.
– Se , então
, o que faz
não ser primo positivo.
– Logo a única opção viável é
– Se
– Logo a única opção viável é
Nesse caso
ambos de fato primos.
Passo 4
Com
obtemos
Para verificar que
é primo, basta notar que
e
não é divisível por
nem
. Portanto
é primo.