Determine todos os valores possíveis para n= 1a3b sabendo que n é divisível por 12 .

Passo 1

O enunciado pede todos os números n da forma 1a3b (onde a e b são dígitos) tais que n seja divisível por 12. Para verificar divisibilidade por 12, usamos os testes de divisibilidade por 3 e por 4.

Passo 2

Para ser divisível por 4, os dois últimos dígitos (que formam o número 3b) devem ser múltiplo de 4. Escrevendo isso em termos de b:
30 + b equiv 0 pmod4
Como 30equiv2pmod4, precisamos de
2 + b equiv 0 pmod4,
logo
b equiv 2 pmod4
Os dígitos de 0 a 9 que satisfazem isso são bin2,6.

Passo 3

Para ser divisível por 3, a soma dos dígitos de n deve ser múltiplo de 3. A soma é
1 + a + 3 + b = 4 + a + b
Queremos
4 + a + b equiv 0 pmod3
Analisamos separadamente para cada caso de b.

Passo 4

Caso b=2:
4 + a + 2 = a + 6 equiv 0 pmod3
implica
a equiv 0 pmod3,
ou seja ain0,3,6,9.
Caso b=6:
4 + a + 6 = a + 10 equiv 0 pmod3
implica
a + 1 equiv 0 pmod3Rightarrow aequiv2pmod3,
ou seja ain2,5,8.

Passo 5

Agora formamos os números 1a3b com os pares (a,b) encontrados:
Para b=2 e ain0,3,6,9 temos
,1032,;1332,;1632,;1932
Para b=6 e ain2,5,8 temos
,1236,;1536,;1836

Resposta

Os valores de n são
1032,;1236,;1332,;1536,;1632,;1836,;1932

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