Determinar os algarismos x e y de modo que o inteiro:
7 x 36 y 5 seja divisível por 1375 .

Passo 1

O enunciado pede para achar os dígitos x e y tais que o número inteiro
7x36y5
seja divisível por 1375.
Como
1375 = 5^3 times 11 = 125 times 11,
basta garantir simultaneamente que 7x36y5 é divisível por 125 e por 11.

Passo 2

Para a divisibilidade por 125 (ou seja, 5^3), basta que os três últimos dígitos formem um múltiplo de 125.
Os três últimos dígitos são 6y5, ou seja,
6y5 = 600 + 10y + 5 = 605 + 10y
Procuramos yin0,1,dots,9 tal que 605+10y seja múltiplo de 125.
Os múltiplos de 125 mais próximos de 600 são 500,625,750,dots.
Testando
605 + 10y = 625 Longrightarrow 10y = 20 Longrightarrow y = 2
Não há outro y entre 0 e 9 que funcione. Logo, y=2.

Passo 3

Agora é só impor a divisibilidade por 11. A regra do 11 diz que
l(soma dos dígitos em posições ímparesr) - l(soma dos dígitos em posições paresr) equiv 0 pmod11 íçõííçõ
Numerando as posições de direita para a esquerda começando em 1, o número 7x36y5 tem:
  • posições ímpares: 1ª: 5, 3ª: 6, 5ª: x. Soma = 5 + 6 + x = 11 + x.
  • posições pares: 2ª: y, 4ª: 3, 6ª: 7. Soma = y + 3 + 7 = y + 10.
A diferença deve ser múltipla de 11:
(11 + x) - (y + 10) = 1 + x - y equiv 0 pmod11
Como x,y são dígitos, 1+x-y varia entre -8 e 10. A única forma de ser múltiplo de 11 nesse intervalo é ser 0.
Portanto
1 + x - y = 0 Longrightarrow x = y - 1
Substituindo y = 2 x = 1.

Resposta

x = 1 e y = 2.

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